Записать в виде составной функции


Тебе знакомы формулы, по которым находят производные функций, которые можно назвать элементарными, или таких функций, которые можно записать в виде суммы, произведения, частного. И, тем не менее, это еще не все правила, которые необходимо применять, чтобы записать в виде составной функции производную любой функциии. Предлагаем узнать, что же такое сложная функция и как находить ее производную Автоматичне відтворення Якщо ввімкнено автоматичне відтворення, пропоноване відео автоматично відтворюватиметься наступним.Математический анализ Вычислить интеграл Пример 2. Как и в примере 1, вычислим дифференциал. Числитель подынтегральной дроби преобразуем тождественно к виду, содержащему. Исходя из преобразований, сделанных выше, получаем:. Разделив почленно подынтегральную функцию, получим: Первый интеграл это интеграл вида. Для того чтобы вычислить второй интеграл, выделим полный квадрат из выражения : Второй инте грал теперь будет иметь следующий вид:. С учетом того, чтоэтот интеграл табличный. Таким образом, для заданного интеграла имеем:. Лекция ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Условие существования производственной сложной функции Теорема 5. Пусть функция имеет производную в точке x0, а функция имеет производную в точке. Опуская значение аргумента используя запись производной с помощью дифференциалов, равенство 24. Прежде записать в виде составной функции, в силу самого определения производной, функция F определена в некоторой окрестности V y0 точки y0, а так как из существования производной следует непрерывность функции f, то для указанной окрестности V y0 существует такая окрестность U x0 точки x0, чтои, следовательно, для всех x ÎU x0 имеет смысл сложная функция. Функция F имеет в точке y0 производную и поэтому дифференцируема в этой точке. Это означает, что её приращение Dz при всех Dy, принадлежащих некоторой окрестности точки y0, может быть представлено в виде записать в виде составной функции, где e Dy — непрерывная в нуле функция и. Разделив обе части последнего равенства на Dx ¹0, получим. Поэтому, согласно правилу замены переменных в предельных соотношениях, содержащих непрерывные функции. Инвариантность формы первого дифференциала функции Следствие инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной :. Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на «дифференциал этой переменной» — независимо от того, является эта переменная, в свою очередь, функцией или независимой переменной. По теореме 1отсюда, применив записать в виде составной функции 24. Вычисление записать в виде составной функции сложных функций Пример. Пусть дифференцируемая функция задана неявно уравнением. Дифференцируя тождество как сложную функцию, записать в виде составной функции вычислить производную. Гиперболические функции их производные Функции называются соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом. Эти формулы напоминают соотношения между обычными как их иногда называют, круговыми синусом и косинусом. Для имеется и ряд других соотношений, аналогичных соответствующим формулам для. Этим и объясняется название функций. Частныезаписать в виде составной функции аналогии с обычными синусами и косинусами, называют гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом соответственно. Лекция 25 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 25. Определение производных высших порядков Пусть функция записать в виде составной функции, определённая на интервалеимеет в каждой точке производную и пусть. При этом все производные, порядок которых меньше n—1, непрерывны в указанной окрестности, поскольку во всех её точках они имеют записать в виде составной функции. Всё сказанное здесь естественным образом переносится и на так называемые односторонние производные высшего порядка. При этом на каком-либо конце рассматриваемого промежутка в том случае, когда этот конец принадлежит промежутку, под производными, как обычно, понимаются соответствующие односторонние производные. Для того чтобы функция была n раз непрерывно дифференцируемой на некотором записать в виде составной функции, достаточно, чтобы она имела на нём непрерывную производную порядка n. Вычислить n-ю производную функций. Производные высших порядков суммы и произведения функций Теорема 6. Пусть функции имеют производные n-го порядка в точке x0; тогда функции имеют производные n-го порядка в точке x0, причём. Доказательство теоремы 6 проводится по индукции. Мы не будем на этом останавливаться. Доказательство следует очевидным образом из n-кратного применения формулы 23. Производные высших порядков от сложных функций Теорема 7. Пусть функция имеет вторую производную в точке x0, а — вторую производную в точке. Поскольку существуют производные исуществуют также и. Следовательно, функции и непрерывны в точках x0 и y0 соответственно. Поэтому в некоторой окрестности точки x0 определена сложная функция. Дифференцируя эту функцию и опуская для простоты обозначение аргумента, имеем ; дифференцируя ещё раз по x, получим. Этот метод позволяет также доказывать существование и находить производные высших порядков от обратной функции. Дайте определение второй производной n-й производной функции в точке. Выпишите формулу для вычисления биномиальных коэффициентов. Сформулируйте и докажите формулу для вычисления второй производной сложной функции. Связь между дифференцируемостью и существованием производной функции Пример. Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически Пример. Если функцииинтегрируемы по отрезкуто по этому отрезку интегрируема их линейная комбинацияи. Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек. Перейдем в записать в виде составной функции равенстве к пределу при. Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства. Если интегрируема по отрезку и точка принадлежит этому отрезку, то. Если удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкуто она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам и. Будем брать такие разбиения отрезкачтобы точка являлась одним из узлов :. В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма длявторая - для. Переходим к пределу при. Пределы для всех трёх сумм существуют, и. Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например,и интегрируема по. Отсюда из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что. При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:. В выражении, стоящем под знаком интеграла, обозначим:а. По данным идля составления правой части формулы, вычисляем и :. Составляем правую часть формулы интегрирования по частям, записывая вместо их выражения.

Смотри также